定义压缩环的3次 grade 理想的分解与 Tor 代数结构

设 $R=k[x,y,z]$ 为标准分次 $3$ 变量多项式环，其中 $k$ 为任意域。我们研究定义具有 socle $k(-s)^{\ell} \oplus k(-2s+1)$ 的压缩环的 $3$ 次齐次理想 $I \subseteq R$，其中 $s \geq3$ 且 $\ell \geq 1$ 为整数。$\ell =1$ 的情形已由作者在前一篇论文中研究；为所有此类理想构造了一个一般极小分解。最近，该分解以（迭代）修剪复形的形式得到推广。在本文中，我们证明所有上述形式的理想均可由迭代修剪复形分解。此外，我们应用该工具构造理想 $I$，使得 $R/I$ 为某个固定 $r \geq2$ 的 Tor 代数类 $G (r)$ 的环，且 $R/I$ 可被选取为具有任意大的型。特别地，这为 Avramov 的一个猜想提供了一类新的反例，且未被 Christensen、Veliche 和 Weyman 所构造。