有理正规卷与 Rees 代数的定义方程

考虑一个高度为 2 的理想 $I$，它由多项式环 $R=k[x,y]$ 中 $m$ 个 $d$ 次齐次形式极小生成。假设 $I$ 的齐次表示矩阵 $\f$ 中有一列的条目次数为 $n$，而 $\f$ 的所有其他条目都是线性的。我们确定了定义 Rees 代数 $\Cal R=R[It]$ 的理想 $\Cal A$ 的一个显式生成集；因此对于多项式环 $S=R[T_1,...,T_m]$，有 $\Cal R=S/\Cal A$。我们解析了 $\Cal R$ 作为 $S$-模以及 $I^s$ 作为 $R$-模（对所有幂次 $s$）的结构。证明使用了有理正规卷的齐次坐标环 $A=S/H$，其中 $H\subseteq \Cal A$。理想 $\Cal AA$ 同构于 $A$ 中一个高度为 1 的素理想 $K$ 的第 $n$ 次符号幂。理想 $K^{(n)}$ 由单项式生成。只要可能，我们研究 $A/K^{(n)}$ 以代替 $A/\Cal AA$，因为 $K^{(n)}$ 的生成元比 $\Cal AA$ 的生成元简单得多。我们得到了 $K^{(n)}$ 的一个滤过，其中的因子是多项式环、超曲面环或由广义 Eagon-Northcott 复形解析的模。$I$ 的生成元参数化了射影 $m-1$ 空间中的一条代数曲线 $\Cal C$。特殊纤维环 $\Cal R/(x,y)\Cal R$ 的定义方程给出了 $\Cal C$ 的隐式化问题的解。