无挠群群环中具有小支撑的零因子

Kaplansky的零因子猜想设想：对于无挠群G和整环R，群环R[G]不包含非平凡零因子。我们将R[G]中元素a的长度定义为最小的非负整数k，使得存在环元素r_1,...,r_k∈R和群元素g_1,...,g_k∈G，使得a = r_1 g_1+...+r_k g_k。我们研究当R为有理数域时的猜想。通过归约到二元有限域，我们证明：如果ab=0，其中a,b是有理数上无挠群群环中的非平凡元素，则a和b的长度不能属于某些组合。更精确地，我们证明对于各种整数对(i,j)，如果其中一个长度至多为i，则另一个长度必须超过j。使用组合论证，我们证明了这对(3,6)和(4,4)成立。通过计算机辅助方法，我们加强了这一结果，证明这对(3,16)和(4,7)也成立。作为我们方法的一部分，我们描述了一种称为匹配矩形的组合结构，并证明对于这些结构，可以在二次时间内计算规范标记。每个匹配矩形给出一个群的表示。这些关联的群是通用的，即它们之间不存在猜想的反例当且仅当猜想在有理数上成立。