整数环中计数除数函数 d_0(n) 的公式：一个类域数论的推广

本文在整数环的理想结构与加法组合学之间建立了形式联系。对于类群为循环的整数环，我们证明了一个结构定理，表明每个非零理想可分解为最大主部分与若干理想的乘积，其总长度为 Davenport 常数的上界。借助该分解，我们为理想 $I=(\alpha, \beta)$ 的生成器寻找除数。本文的核心结果是利用有限阿贝尔群上的字符理论推导闭式公式，以计数给定序列的零和子序列的个数。在主理想与零和序列之间建立的对应关系，该公式为给定理想的主理想除数提供了精确计数，从而计数理想 $I=(\alpha,\beta)$ 生成器的公约数。该结果构成了从唯一分解域推广到任意具有有限类群的 Dedekind 域中经典除数函数 $d_0(n)$ 的自然推广。最后，我们依据这些零和子序列的计数来刻画 $\mathcal{O}_K$ 中的不可约元素。