半空间上齐次函数空间中 Hodge 拉普拉斯算子的 Hodge 分解与极大正则性

本文在全空间 $\mathbb{R}^n$ 和半空间 $\mathbb{R}^n_+$ 上，针对不同尺度的函数空间即齐次与非齐次 Besov 和 Sobolev 空间 $\dot{\mathrm{H}}^{s,p}$、$\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$、${\mathrm{H}}^{s,p}$ 和 ${\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$（对所有 $p\in(1,+\infty)$、$s\in(-1+\frac{1}{p},\frac{1}{p})$），研究了任意次数微分形式的 Hodge 分解。本文还研究了半空间上 Hodge 拉普拉斯算子的有界全纯函数演算及其他函数分析性质，并通过已证得的 Hodge 分解得到了 Hodge-Stokes 及其他相关算子的类似结果。作为推论，Danchin、Hieber、Mucha 和 Tolksdorf 重新探讨的齐次算子与插值理论被应用于受边界条件约束的齐次函数空间，并导出了具有全局时间估计的各类极大正则性结果，可用于流体动力学。此外，Hodge 拉普拉斯算子与 Hodge 分解之间的联系甚至使我们能够针对正则性指标 $s\in(-1+\frac{1}{p},2+\frac{1}{p})$ 给出具有附加相容条件的高阶 Sobolev 和 Besov 空间的 Hodge 分解。为使上述性质在所需函数空间中有意义，我们在附录中也给出了边界上部分迹的恰当定义。本文存在的理由在于，所选齐次函数空间的实现适用于非线性和边值问题，但需要细致地处理以重新证明那些在直观上已知的结果。