临界正则性空间中有界解的分层构造

我们在临界情形下构造了方程 $\text{div}\, U=f$ 和 $\text{curl}\, U=F$ 的一致有界解，其中 $f \in L^d(T^d,R)$，$F \in L^3(T^3,R^3)$。此处的临界性表现为缺乏将 $L^d$ 映射到 $L^\infty(T^d)$ 的线性解算子（Bourgain & Brezis \cite{BB03,BB07}）。因此，引人入胜之处在于，尽管问题是线性的，其解的构造却并非线性。我们的构造是求解形如 $T\, U=f$ 的线性方程的一般框架的特例，其中 $T$ 是定义在巴拿赫空间 $B$ 中的稠定线性算子，其值域闭于勒贝格空间 $L^p(\Omega)$ 的（真子空间）中，且其对偶算子 $T^*$ 是单射。解通过多尺度{\em 分层表示} $U=\sum_{j=1}^\infty u_j$ 实现，该表示本身也值得关注。这里，$u_j$ 通过递归构造为 $u_{j+1} = \text{arginf}_{u}{|u|_B+\lambda_{j+1} |r_j-T u |^p_{L^p}}$ 的极小元，其中残差 $r_j:=f- T (\sum^j_{k=1} u_k)$ 通过二进尺度序列 $\lambda_{j+1} =\lambda_1 2^j$（$\lambda_1$ 充分大）来消解。该构造的非线性方面对应于在临界空间中无法线性求解 $T U =f$ 这一事实。