临界空间中方程 $div\, {\mathbf u}=f$ 的有界解的构造

我们构造了方程 $div\, {\mathbf u}=f$ 的均匀有界解，对于任意数据 $f$ 在临界空间 $L^d(\Omega)$ 中，其中 $\Omega$ 是 ${\mathbb R}^d$ 中的区域。这个问题由 Bourgain & Brezis 提出，[On the equation ${\rm div}\, Y=f$ and application to control of phases, JAMS 16(2) (2003) 393-426]，他们证明虽然该问题存在均匀有界解，但它是临界的，因为对于一般的 $L^d$ 数据不存在线性解算子。我们首先讨论在比 $f\in L^d(\Omega)$ 更弱的条件下该存在性结果的有效性，然后专注于构造这种均匀有界解的构造性过程。在 $d=2$ 的情况下，我们提出了一个直接的一步显式构造，对于 $d>2$ 推广到基于归纳法的 $(d-1)$ 步构造。对于 $d=2$ 情况下 $L^{2,\infty}(\Omega)$ 中的紧支集数据，提出了一个显式构造。我们还提出了基于优化适应问题的某个损失泛函的构造性方法。该方法在 $d=2$ 情况下提供了两步构造。该优化被用作 [E. Tadmor, Hierarchical construction of bounded solutions in critical regularity spaces, CPAM 69(6) (2016) 1087-1109] 中引入的分层多步过程的基本构建块，该过程在更一般的情况下收敛到一个解。