某些随机科赫型雪花的热含量渐近性

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中区域 $D$ 的热含量 $E$ 的短时间渐近性。本文的新颖之处在于考虑 $D$ 的边界 $\partial D$ 为随机科赫型曲线的情形。当 $\partial D$ 在空间上齐次时，我们证明可以从 $E(s)$ 的短时间行为恢复 $\partial D$ 的下、上闵可夫斯基维数。此外，在某些闵可夫斯基维数存在的情形下，可以恢复更精细的几何波动，且对于小的 $s$，热含量由 $s^\alpha e^{f(\log(1/s))}$ 控制，其中 $\alpha \in (0, \infty)$，$f$ 是某个正则变化函数。函数 $f$ 通常非常数，并携带一些几何信息。当 $\partial D$ 统计自相似时，$\partial D$ 的闵可夫斯基维数和内容通常存在，并可从 $E(s)$ 恢复。此外，热含量具有几乎必然展开式 $E(s) = c s^{\alpha} N_\infty + o(s^\alpha)$（对于小的 $s$），其中 $c$ 和 $\alpha \in (0, \infty)$ 为常数，$N_\infty$ 是某个期望为 1 的正随机变量，作为某个鞅的极限出现。