Nash 熵的短时渐近性

设 $(M^n, g)$ 为满足 $Rc\geq -Kg$ 的完备黎曼流形，$H(x, y, t)$ 为 $M^n$ 上的热核，且 $H= (4\pi t)^{-\frac{n}{2}}e^{-f}$。Nash 熵定义为 $N(H, t)= \int_{M^n} (fH) d\mu(x)- \frac{n}{2}$。我们研究了当 $t\rightarrow 0^{+}$ 时 $N(H, t)$ 及其导数 $\frac{\partial}{\partial t}\Big[N(H, t)\Big]$ 的渐近行为，并得到了 $t= 0$ 处的渐近公式。在附录中，我们得到了此类流形上热方程正解拉普拉斯算子的 Hamilton 型上界，该结果具有独立的兴趣。