$\beta$-系综的硬边与 Painlev\'e III
数学物理
2012-12-24 v1 math.MP
概率论
可精确求解与可积系统
摘要
从 Ramirez 和 Rider (2008) 获得的 随机矩阵硬边处的扩散方程出发，我们研究了其与 Painlev\'e III 的 Lax 对之间的关系问题。结果在许多方面类似于 Bloemendal 和 Virag (2010) 发现的软边结果。特别是， 和 的值（但 除外）允许与 Painlev\'e III 解和 Lax 对建立简单联系。然而，对于参数的特殊关系存在一个额外的惊喜，此时可以获得扩散方程的一个简单解，它是 Gumbel 分布的单参数推广。我们的考虑可以扩展到其他 Painlev\'e 方程，因为相应的扩散实际上被称为量子 Painlev\'e 哈密顿量的非定态（虚时间）Schr"odinger 方程。我们还根据我们的 Lax 对追踪了从硬边到软边的极限过渡。
引用
@article{arxiv.1212.5333,
title = {Hard edge for beta-ensembles and Painlev\'e III},
author = {Igor Rumanov},
journal= {arXiv preprint arXiv:1212.5333},
year = {2012}
}