酉系综软边处第一和第二特征值的联合分布

酉系综软边处第一和第二特征值联合分布的密度函数是用 Painlev\'e II 超越函数及其相关的等单调系统表示的。作为推论，这两个特征值之间间距的密度函数也以类似方式表征。所出现的 Painlev\'e II 特解是 Hasting-McLeod 解的双重移位 B"acklund 变换，该解适用于软边处最大特征值的分布情况。我们的推导是通过利用硬边到软边的过渡，应用于现有关于硬边处第一和第二特征值联合分布的结果 \cite{FW_2007} 而得出的。此外，还获得了后者指定量在 $a \mapsto a+1$ 下的递推关系。采用 Fredholm 行列式类型的表征为两个最大特征值之间间距的分布提供了精确的数值计算。