半空间极小化非局部周长：基于校准的证明

我们考虑一个非局部泛函 $J_K$，它可被视为全变分的非局部版本。更确切地说，对任意可测函数 $u\colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$，我们将 $J_K(u)$ 定义为 $u$ 的加权差分的积分。权重由正核 $K$ 编码，该核在原点处可能奇异。我们在给定边界条件下研究该能量的极小化，并引入适合此非局部问题的校准概念。我们的第一个结果表明，校准的存在是函数成为极小元的充分条件。作为该判据的应用，我们证明在球内半空间是 $J_K$ 的唯一极小元，只要它们是可容许的竞争者。最后，我们概述如何利用超平面的 optimality 来恢复关于 $J_K$ 标度极限的 $\Gamma$-收敛结果。