超临界耗散流体动力输运方程解的Hölder连续性

我们考察具有超临界（$\alpha <1/2$）耗散$(-\Delta)^\alpha$的准地转（QG）型方程弱解的正则性。此项研究受Caffarelli与Vasseur近期工作的启发，他们研究了临界（$\alpha = 1/2$）QG方程的全局正则性问题\cite{CV}。他们的方法逐步提升Leray-Hopf弱解的正则性水平：从$L^2$到$L^\infty$，从$L^\infty$到Hölder（$C^{\delta}$，$\delta>0$），以及从Hölder到经典解。在超临界情形，Leray-Hopf弱解仍可被证明是$L^\infty$的，但似乎其方法不易推广以建立$L^\infty$解的Hölder连续性。为使该方法奏效，我们要求速度属于Hölder空间$C^{1-2\alpha}$。从$C^\delta$（$\delta>1-2\alpha$）出发的更高正则性可借助Besov空间技术建立，并将另文给出\cite{CW6}。