无三角形图上的猜数游戏

Riis 引入的猜数游戏是“猜自己帽子”游戏的一个变体，可以在任意 $n$ 个顶点的简单有向图 $G$ 上进行。对于每个有向图 $G$，已证明存在一个与该图上进行的猜数游戏相关联的唯一猜数 $gn(G)$。当我们将有向边视为双向边时，换言之，当图 $G$ 为无向图时，Christofides 和 Markström 提出了一种利用分数团数 $K_f(G)$ 从下方界定猜数值的方法。特别地，他们证明了 $gn(G) \geq |V(G)| - K_f(G)$。此外，文中指出若底层无向图 $G$ 属于以下类别之一：完美图、圈图或其补图，则该界取等号。在本文中，我们展示了存在某些无三角形图，其猜数不满足分数团覆盖界。特别地，著名的无三角形 Higman-Sims 图的猜数至少为 77 且至多为 78，而由分数团覆盖给出的界为 50。