强退化图的帽子猜测数

假设将$n$名玩家放置在图$G$的$n$个顶点上。Winkler引入了如下游戏：一个对手给每名玩家戴上一顶帽子，每顶帽子的颜色取自$q$种可用颜色之一。玩家能看到其在$G$中每个邻居的帽子，但看不到自己的帽子。利用预先讨论的猜测策略，玩家同时猜测自己帽子的颜色。若至少一人猜对则玩家获胜，否则对手获胜。使得玩家存在获胜策略的最大整数$q$记为$\text{HG}(G)$，称为$G$的帽子猜测数。尽管该游戏近年来备受关注，关于帽子猜测数如何与其他图参数相关联所知甚少。例如，一个自然的开放问题是帽子猜测数是否能以退化度为上界。本文中，我们证明图的帽子猜测数可以以其相关概念——我们称之为强退化度——为上界。我们进一步给出了具有有界强退化度图的精确刻画。作为推论，我们将外平面图帽子猜测数的最佳已知上界从$2^{125000}$大幅改进至$40$，并进一步推导了任意具有有界膨胀的$K_{2,s}$-自由图类（如$C_4$-自由平面图、更一般地具有有界Hadwiger数或无$K_t$-细分的$K_{2,s}$-自由图类）以及具有常数平均度的Erd\H{o}s-R\'enyi随机图的帽子猜测数上界。