边选取概率为常数时随机图的帽子猜测数

设 $G$ 为一个具有 $n$ 个顶点的图。图 $G$ 的帽子猜测数定义于如下游戏：有 $n$ 名玩家和一名对手。对手将在每名玩家头上戴上一顶 $q$ 种不同颜色帽子中的一种。此时，玩家只能看到相邻顶点处玩家的帽子颜色，且玩家之间不允许交流。一旦为玩家分配好帽子，每名玩家必须同时猜测自己帽子的颜色。如果至少有一名玩家猜对，则他们集体获胜。给定图 $G$，其帽子猜测数 $HG(G)$ 是使得存在一种猜测策略能保证对任意 $q$ 种不同颜色的帽子分配至少有一次正确猜测的最大整数 $q$。令 $\mathcal{G}(n,p)$ 表示具有 $n$ 个顶点且边选取概率 $p\in(0,1)$ 的 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图。Alon-Chizewer 与 Bosek-Dudek-Farnik-Grytczuk-Mazur 分别研究了当 $G\in \mathcal{G}(n,1/2)$ 时 $HG(G)$ 的下界和上界。在本文中，我们推广了他们的结果，证明了对于任意常数 $p$，当 $G\in \mathcal{G}(n,p)$ 时，以高概率有 $n^{1 - o(1)}\le HG(G) \le (1-o(1))n$。