仙人掌图与圈图的猜帽数

我们研究图上的猜帽博弈。在该博弈中，图 $G$ 的每个顶点 $v$ 上放置一名玩家，并向其分配一顶来自 $h(v)$ 种可能颜色的彩色帽子。每位玩家根据其相邻顶点上玩家所分配的颜色，对自己的帽子颜色做出确定性猜测；若至少有一名玩家正确猜出自己被分配的颜色，则玩家获胜。如果存在一种策略能够保证对颜色的任意分配都至少有一名玩家正确猜测，则由 $\langle G,h\rangle$ 定义的博弈称为可获胜的。图 $G$ 的猜帽数是使得当所有 $v\in G$ 都有 $h(v)=q$ 时 $\langle G,h\rangle$ 仍可获胜的最大整数 $q$。在本文中，我们对 $G$ 为圈图的情形，对任意 $h$ 判定 $\langle G,h\rangle$ 是否可获胜，肯定地解决了 Kokhas 和 Latyshev 的猜想并将其推广。随后，我们利用该结果确定每个仙人掌图（即任意两个圈至多共享一个顶点的图）的猜帽数。