戴帽熊与独立多项式

考虑如下猜帽游戏。一只熊坐在图 $G$ 的每个顶点上，一个恶魔给每只熊戴上一顶由 $h$ 种颜色之一染色的帽子。每只熊仅能看到其邻居的帽子颜色。仅基于此信息，每只熊必须猜测 $g$ 种颜色，若其帽子颜色包含于猜测中则猜对。对于任意帽子排列，只要至少一只熊猜对，熊们即获胜。我们引入一个新参数——分数帽色数 $\hat{\mu}$，源于该猜帽游戏。参数 $\hat{\mu}$ 与此前研究过的帽色数相关。我们呈现了猜帽游戏与图独立多项式之间的惊人联系。该联系使我们能在多项式时间内计算弦图的分数帽色数，将分数帽色数由 $G$ 的最大度函数界定，并计算团、路径和圈的 $\hat{\mu}$ 精确值。