一般束缚势下非线性薛定谔方程的基态

描述量子谐振子的具有调和势 $V(x)=|x|^2$ 的经典薛定谔方程在过去二十年中被广泛研究。其基态呈钟形，且在局域正解中唯一。此外，它们已被证明是非退化的且（强）轨道稳定。这些由众多发表物和多位作者得出的结果，均依赖于专为拉普拉斯算子和幂函数势设计的常微分方程方法。在本文中，我们对这些结果进行了广泛推广。更具体地，我们假设次拉普拉斯分数阶色散以及非常一般形式的束缚势 $V$，其驱动线性算子为 $H=(-\Delta)^s+V, 0<s\leq 1$。我们证明了此类半线性分数阶薛定谔方程的归一化波存在，且呈钟形，只要非线性项为 $|u|^{p-1} u, p<1+\frac{4 s}{n}$ 的形式。此外，我们证明此类波是非退化的，且强轨道稳定。即便在经典情形 $H=-\Delta+V$（其中 $V$ 为本文所考虑的一般束缚势）下，这些结果大多也是新的。