光滑对数 Calabi-Yau 对的 Gross-Siebert 内蕴镜像环

在本文中，我们给出联系 Gross 与 Siebert 所用的穿孔 Gromov-Witten 不变量与任意光滑对数 Calabi-Yau 对 $(W,D)$ 的带一点约束的 2-点相对/对数 Gromov-Witten 不变量的公式。记 $N_{a,b}$ 为 $W$ 中与 $D$ 交于两点、一点接触阶为 $a$ 另一点接触阶为 $b$ 并带一点约束的有理曲线数目。（此类数在相对或对数 Gromov-Witten 理论中定义）。随后我们应用 Kim、Lho、Ruddat 以及 Abramovich、Chen、Gross、Siebert 发展的形变至法锥技术与退化公式的修正版本，在 $D$ 为 nef 且 $e$ 为 $D$ 与所选曲线类的交数时，完全理解 $N_{e-1,1}$。之后，借助穿孔不变量作为辅助不变量，我们证明对于带椭圆曲线的射影平面 $(\mathbb{P}^2, D)$，每一 $d$ 的标准 2-点、度 $d$、带点条件的相对不变量均可由恰好一个该度 $d$ 不变量即 $N_{3d-1,1}$ 加上那些更低度不变量确定。在最后一节，我们给出 $(\mathbb{P}^2, D)$ 的 2-点、度 2、单点约束相对 Gromov-Witten 不变量的完整计算。