有理椭圆曲面的镜像的收敛性

Gross、Hacking 与 Keel 引入的构造允许人们为 pair $(S,D)$ 构造形式镜像族，其中 $S$ 是光滑有理射影曲面，$D$ 是支持丰富类或反丰富类的某类 Weil 除子。在该论文中他们证明了两个收敛结果。首先，若 $D$ 的交矩阵不是半负定的，则他们所构造的族可提升为代数族。其次，他们证明若交矩阵是负定的，则其构造沿基上的某些解析层提升，并随后在该层的形式邻域上提升。在该论文的初版中，他们声称若交矩阵为半负定，则该族实际上可延拓至原点的一个解析邻域，但给出了不正确的证明。本文中我们修正这一错误。我们解释如何运用一般的 Gross-Siebert 纲领将此类曲面的镜像构造归结为计算某些相对 Gromov-Witten 不变量。我们随后将这些不变量与新空间的不变量相联系，并在该新空间中求得不变量的显式公式。由此我们推导出镜像族的解析收敛性，至少在原曲面具有 $I_4$ 纤维时成立。