镜像椭圆 K3 曲面的 Gauss-Manin 李代数

我们研究具有 $E_6,~E_7$ 和 $E_8$ 型椭圆纤维的椭圆 K3 曲面族的镜像对称。我们考虑一个增强了微分形式选择的镜像 K3 曲面的模空间 $\mathsf{T}$。我们证明 $\mathsf{T}$ 上的坐标由两变量准模形式环给出，其模群适应纤维类型。我们进一步引入一个从右侧作用于 $\mathsf{T}$ 的代数群 $\mathsf{G}$ 并构造其李代数 $\mathrm{Lie}(\mathsf{G})$。我们证明由 $\mathrm{Lie}(\mathsf{G})$ 与 $\mathsf{T}$ 上的模向量场共同生成的扩张李代数同构于 $\mathrm{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathrm{sl}_2(\mathbb{C})$。