二部图环面边理想的 Green-Lazarsfeld 条件

此前，Ohsugi 与 Hibi 给出了二部图 $G$ 的环面边理想 $I_G$ 由二次式生成的组合描述，表明 $G$ 的每个长度至少为 $6$ 的圈必须有弦。这对应于 Green-Lazarsfeld 条件 $\mathbf{N}_1$。在本文中，我们研究 $I_G$ 的高阶合冲，并对所有 $p \ge 1$ 给出二部图环面边理想的 Green-Lazarsfeld 条件 $\mathbf{N}_p$ 的组合描述。特别地，我们证明 $I_G$ 为线性表示（即满足条件 $\mathbf{N}_2$）当且仅当 $G$ 的二部补图是直径至多为 $3$ 的树。我们还研究了线性表示的环面边理想的正则性，并给出多联骨牌理想满足 Green-Lazarsfeld 条件的判据。