图的toric理想的分解

设 $G$ 为顶点集合为 $\{v_{1},\ldots,v_{n}\}$ 的简单图。附加到 $G$ 的代数对象称为toric理想 $I_G$。若存在两个子图 $G_1$ 和 $G_2$ 使得 $I_G=I_{G_1}+I_{G_2}$，且 $I_{G_1}$ 和 $I_{G_2}$ 均不等于 $I_G$，则称 $I_G$ 为子图可分解的。我们证明 $I_G$ 为子图可分解当且仅当其为边可分解的。我们还证明完全二分图的toric理想不可子图可分解。相反，我们证明当 $n \geq 4$ 时，完全图 $K_n$ 的toric理想必为子图可分解。此外，我们证明 $K_n$ 的toric理想具有最小分解当且仅当 $4 \leq n \leq 5$。最后，我们证明任何最小分解也是约旦分解。