分次李超代数、超迹公式与轨道李超代数

设 $\Gamma$ 为一个可数阿贝尔半群，$A$ 为满足某一有限性条件的可数阿贝尔群。假设群 $G$ 通过保持 $(\Gamma\times A)$-分次的李超代数自同构作用于 $(\Gamma \times A)$-分次李超代数 ${\frak L}=\bigoplus_{(\alpha,a) \in \Gamma\times A} {\frak L}_{(\alpha,a)}$。本文中，我们证明 Euler-Poincaré 原理给出了 ${\frak L}$ 的广义分母恒等式，并导出了对所有 $g\in G$、$(\alpha,a) \in \Gamma\times A$ 的超迹 $\text{str}(g|{\frak L}_{(\alpha,a)})$ 的闭形式公式。我们讨论了我们的超迹公式对各类无限维李超代数（如自由李超代数与广义 Kac-Moody 超代数）的应用。特别地，我们确定了自由李超代数分解为不可约 $GL(n) \times GL(k)$-模的直和，以及具有群作用的怪异位李超代数的超迹。最后，我们证明广义 Kac-Moody 超代数 ${\frak g}$ 上对应于 Dynkin 图自同构 $\sigma$ 的 Verma 模与不可约最高权模的广义特征标，与由 $\sigma$ 确定的轨道李超代数 $\breve{\frak g}={\frak g}(\sigma)$ 上 Verma 模与不可约最高权模的通常特征标相同。