二维仅带垂直耗散的Boussinesq方程的整体适定性

我们证明了仅带垂直耗散的二维Boussinesq方程的整体适定性。初始数据$(u_0,\theta_0)$仅被要求属于空间$X=\{f\in L^2(\mathbb R^2)\,|\,\partial_xf\in L^2(\mathbb R^2)\}$，因此我们的结果推广了[C. Cao, J. Wu, Global regularity for the two-dimensional anisotropic Boussinesq equations with vertical dissipation, Arch. Rational Mech. Anal., Vol. 208 (2013), 985-1004]中的结果，其中初始数据被假设属于$H^2(\mathbb R^2)$。对初始数据的假设是保证解的唯一性所需的最低水平。建立了关于$L^\infty(\mathbb R^2)$范数的、用各向异性Sobolev范数表示的对数型极限Sobolev嵌入不等式，以及对数型Gronwall不等式，以获得关于时间的整体先验估计，从而保证局部解成为整体解。