具有水平粘性的轴对称Boussinesq系统的全局适定性

本文研究三维各向异性Boussinesq方程，该方程可描述为：{equation*} {{array}{ll} (\partial_{t}+u\cdot\nabla)u-\kappa\Delta_{h} u+\nabla \Pi=\rho e_{3},\quad(t,x)\in\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{3}, (\partial_{t}+u\cdot\nabla)\rho=0, \text{div}u=0. {array}. {equation*} 在轴对称初始数据$\rho_{0}(r,z)$的支撑集不与轴$(Oz)$相交的假设下，我们证明了该系统的全局适定性。我们首先利用输运方程的特征，展示了量$\frac\rho r$在大时间下的增长性质。这一增长性质与水平平滑效应相结合，使我们能够通过速度的$L^2$能量估计和密度的最大值原理建立速度的$H^1$估计。在此基础上，我们进一步建立了量$\|\omega(t)\|_{\sqrt{\mathbb{L}}}:=\sup_{2\leq p<\infty}\frac{\norm{\omega(t)}_{L^p(\mathbb{R}^3)}}{\sqrt{p}}<\infty$的估计，这蕴含$\|\nabla u(t)\|_{\mathbb{L}^{3/2}}:=\sup_{2\leq p<\infty}\frac{\norm{\nabla u(t)}_{L^p(\mathbb{R}^3)}}{p\sqrt{p}}<\infty$。然而，流的这一正则性允许奇点存在，因为$\mathbb{L}$（定义见\eqref{eq-kl}）似乎是保证流唯一性的梯度向量场$u(x,t)$的最小空间。为弥补这一差距，我们通过充分利用水平平滑效应和微局部分析技术，建立了关于$\sup_{2\leq p<\infty}\int_0^t\frac{\|\nabla u(\tau)\|_{L^p(\mathbb{R}^3)}}{\sqrt{p}}\mathrm{d}\tau<\infty$的时空估计。通过建立一种新型的时空对数不等式，实现了大初始数据的全局适定性。