具有水平耗散的二维各向异性 Boussinesq 方程的稳定性与指数衰减

流体静力平衡是流体动力学与天体物理中的突出课题。理解 Boussinesq 系统流体静力平衡附近扰动的稳定性有助于深入认识某些天气现象。此处关注的二维 Boussinesq 系统是各向异性的，且仅含水平耗散与水平热扩散。由于缺乏垂直耗散，其稳定性与精确的大时间行为问题十分困难。当空间域为 $\mathbb R^2$ 时，Sobolev 框架下的稳定性问题仍开放。当空间域为 $\mathbb T\times \mathbb R$ 时，本文解决了稳定性问题并给出了扰动的精确大时间行为。通过将速度 $u$ 与温度 $\theta$ 分解为水平平均 $(\bar u, \bar\theta)$ 与相应振荡 $(\widetilde u, \widetilde \theta)$，并推导各类各向异性不等式，我们得以在 Sobolev 空间 $H^2$ 中建立全局稳定性。此外，我们证明振荡 $(\widetilde u, \widetilde \theta)$ 在 $H^1$ 中指数衰减至零，且 $(u, \theta)$ 收敛于 $(\bar u, \bar\theta)$。该结果反映了浮力驱动流体的层化现象。