具有分数阶水平耗散的二维各向异性纳维-斯托克斯方程在 $\mathbb{R}^2$ 上的稳定性与衰减

在 $\mathbb R^2$ 上仅有一个方向耗散的二维纳维-斯托克斯方程的稳定性问题尚未被完全理解。这种耗散介于完全耗散的纳维-斯托克斯方程和无粘欧拉方程之间。纳维-斯托克斯方程在 $\mathbb R^2$ 中的解随时间代数衰减，而欧拉方程的解则可能随时间快速增长。本文解决了具有分数阶耗散 $\Lambda_1^{2s}$ 的各向异性纳维-斯托克斯方程对所有 $0\leq s<1$ 的基本稳定性和长时间行为问题。$s=1$ 的情况对应于标准的单向耗散 $\partial_1^2$。我们开发了不同的技术来处理不同范围的分数阶指数：$0\leq s\leq \frac34$，$\frac34<s<\frac{11}{12}$，以及 $\frac{11}{12} \leq s <1$。最后一个范围是最困难的情况，为此我们引入了空间多项式 $A_2$ 权重，并利用了 Riesz 变换在加权 $L^2$ 空间上的有界性。