二维 Boussinesq 方程中的非线性无粘阻尼与剪切-浮力不稳定性

我们研究了二维无粘 Boussinesq 方程在稳定层结 Couette 流附近、对于大小为 $\varepsilon$ 的 Gevrey 初值扰动的长时间性质。在 Richardson 数满足经典的 Miles-Howard 稳定性条件下，我们证明系统经历剪切-浮力不稳定性：密度变化和速度经历 $O(t^{-1/2})$ 的无粘阻尼，而涡量和密度梯度以 $O(t^{1/2})$ 增长。该结果至少保持到自然的非线性时间尺度 $t \approx \varepsilon^{-2}$。注意密度的表现与被动标量非常不同，这可从无粘阻尼和较慢的梯度增长中看出。证明依赖于几个要素：(A) 一个合适的对称化，使线性项适用于能量方法，并考虑经典的 Miles-Howard 谱稳定性条件；(B) 针对无粘均匀 Couette 流问题引入的 Fourier 时间依赖能量方法的一个变体，该方法在适应 Boussinesq 方程的玩具模型上发展，即在对称化变量中追踪潜在的非线性回波链，尽管存在涡量增长。