可压缩欧拉方程近仿射解的全局存在性

我们建立了可压缩欧拉方程在有限体积理想气体向真空膨胀情形下的全局解存在性。真空状态可以伴随光滑或奇异的声速出现，后者对应于所谓的物理真空奇点，此时焓在真空波前上像距离函数一样消失。在这种情况下，欧拉方程失去双曲性，形成一个退化的守恒律系统，其局部存在性理论直到最近才得以发展。Sideris 通过求解非线性常微分方程，找到了一类具有有限自由度的全局时间仿射解。在三维空间中，Hadžić 与 Jang 在压力-密度关系 $p = \rho^\gamma$ 且约束条件 $1< \gamma\le {\frac{5}{3}}$ 下，证明了这些仿射解的稳定性，从而确立了全局解存在性。他们提出疑问：不同的方法能否突破 $\gamma > {\frac{5}{3}}$ 的阈值？我们对他们的问题给出了肯定的回答，并证明了所有 $\gamma >1$ 情形下仿射流的稳定性与全局存在性，从而也确立了 $\gamma=2$ 时浅水方程的全局存在性。