广义Duffing振子中的全局中心与相图：Duffing振子中心-聚焦问题的全面研究

本文对广义Duffing振子进行全面研究，这是一种非线性动力学中的基本模型，描述为系统 $$\dot{x} = y, \quad \dot{y} = -\alpha y - \epsilon x^m - \sigma x,$$其中$\epsilon \neq 0$且$m \geq 1$。我们关注相图的拓扑分类、全局中心的特征以及当$\alpha\neq0$时极限循环的不存在。在线性情形（$m=1$）下，确立原点为全局中心的必要且充分条件，表明仅当$\alpha=0$且$\epsilon+\sigma>0$时才会发生。在非线性情形（$m>1$）下，证明原点为全局中心的必要充分条件为$m$为奇数、$\sigma, \epsilon > 0$且$\alpha=0$。此外，我们对每一$m$的全局相图进行分类，展示了系统的丰富动力学行为，并检测到当$\alpha=0$时存在双中心、异中心和双双中心循环。利用Bendixson-Dulac准则，我们排除了$\alpha\neq0$时极限循环的存在，进一步阐明了系统行为。我们的结果解决了退化情形$\alpha=0$的中心-聚焦问题，并对广义Duffing振子奇次的全局中心提供了完整特征。这些发现促进了对非线性动力系统的更广泛理解，并具有潜在的用于建模振荡现象的应用前景。