代数二部图 $D(k,q)$ 的围长

对于整数 $k\geq2$ 与素数的幂 $q$,Lazebnik与Ustimenko(1995)提出的代数二部图 $D(k,q)$ 不仅在极值图论中有意义,也在编码理论与密码学中有意义。该图是 $q$-正则的、边传递的且围长至少为 $k+4$。其确切围长 $g=g(D(k,q))$ 在1995年被猜想为:当 $k$ 为奇数且 $q\geq4$ 时为 $k+5$。该猜想于2016年被证明在 $\frac{k+5}{2}|_p(q-1)$ 时成立,其中 $p$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的特征,且 $m|_pn$ 表示存在非负整数 $r$ 使得 $m$ 整除 $p^r n$。本文中,对 $t\geq 1$ 我们证明:(a) $g(D(4t+2,q))=g(D(4t+1,q))$;(b) 若 $g(D(2t,q))=2t+4$ 则 $g(D(4t+3,q))=4t+8$;(c) 若 $g(D(4t-2,q))=4t+2$ 则 $g(D(8t,q))=8t+4$;(d) 若 $p\geq 3$、$(2t-1)|_p(q-1)$ 且 $2^s\|(q-1)$ 则 $g(D(2^{s+2}(2t-1)-5,q))=2^{s+2}(2t-1)$。本文末尾给出了 $D(k,q)$ 围长的一个简单上界。