一族高围长稠密图的新构造

设 $k\ge 1$ 为奇整数，$t=\lfloor {{k+2}\over 4}\rfloor$，$q$ 为素数幂。我们构造一个二部、$q$-正则、边传递图 $C\!D(k,q)$，其阶 $v \le 2q^{k-t+1}$，围长 $g \ge k+5$。若 $e$ 为 $C\!D(k,q)$ 的边数，则 $e =\Omega(v^{1+ {1\over {k-t+1}}})$。这些图给出了阶为 $v$、围长至少为 $g$（$g\ge 5$，$g \not= 11,12$）的图中边数的最大 known 渐近下界。对于 $g\ge 24$，这较 Margulis 与 Lubotzky、Phillips、Sarnak 建立的界略有改进；对于 $5\le g\le 23$，$g\not= 11,12$，它改进或持平已有界。