关于超出4的二部笼

摩尔下界 $M(k,g)$ 是围长为 $g$ 的 $k$-正则图（记为 $(k,g)$-图）阶数的下界。阶数为 $n$ 的 $(k,g)$-图的超出 $e$ 是差值 $n-M(k,g)$。本文通过研究其邻接矩阵的谱性质，考虑存在超出为4的 $(k,g)$-二部图。我们证明超出4的 $(k,g)$-二部图满足方程 $kJ=(A+kI)(H_{d-1}(A)+E)$，其中 $A$ 表示所述图的邻接矩阵，$J$ 为 $n \times n$ 全1矩阵，$E$ 为若干顶点不交圈并集的邻接矩阵，$H_{d-1}(x)$ 是参数为 $k-1$、次数为 $d-1$ 的第二类迪克森多项式。我们观察到这些图除 $\pm k$ 外的特征值是多项式 $H_{d-1}(x)+\lambda$ 的根，其中 $\lambda$ 是 $E$ 的特征值。基于 $H_{d-1}(x)\pm2$ 的不可约性，我们给出了这些图存在的必要条件。若 $E$ 是阶为 $n$ 的圈的邻接矩阵，则称相应图为\emph{具有循环超出的图}；若 $E$ 是两条圈不交并集的邻接矩阵，则称相应图为\emph{具有双循环超出的图}。本文证明了：若 $k\geq6$ 且 $k \equiv1 \!\! \pmod {3}$，$g=8, 12, 16$ 或 $k \equiv2 \!\! \pmod {3}$，$g=8,$ 则不存在具有循环超出4的 $(k,g)$-图；以及若 $k\geq7$ 为奇数且 $g=2d$ 满足 $d\geq4$ 为偶数，则不存在具有双循环超出4的 $(k,g)$-图。