关于亏格至多为 4 的二部图

我们考虑度/直径问题的二部图版本，即给定自然数 ${\Delta} \geq 2$ 和 $D \geq 2$，求最大度 ${\Delta}$ 和直径 $D$ 的二部图中顶点数的最大值 $Nb({\Delta},D)$。在此背景下，Moore 二部界 $Mb({\Delta},D)$ 表示 $Nb({\Delta},D)$ 的上界。具有最大度 ${\Delta}$、直径 $D$ 和阶数 $Mb({\Delta},D)$ 的二部图，称为 Moore 二部图，已被证明非常罕见。因此，研究具有最大度 ${\Delta} \geq 2$、直径 $D \geq 2$ 和阶数 $Mb({\Delta},D) - \epsilon$（其中 $\epsilon > 0$ 很小）的二部图，即二部 $({\Delta},D,-\epsilon)$-图，是非常有趣的。参数 $\epsilon$ 称为亏格。本文考虑亏格至多为 4 的二部图，并给出了所有已知的此类图。亏格为 2 的二部图在过去已被研究过；如果 ${\Delta} \geq 3$ 且 $D \geq 3$，它们可能仅存在于 $D = 3$ 的情况。然而，当 $\epsilon > 2$ 时，二部 $({\Delta},D,-\epsilon)$-图代表了一个广泛未探索的领域。本文的主要结果包括二部 $(\Delta,d,-4)$-图存在的若干必要条件；所有 $D \geq 2$ 且 $0 \leq \epsilon \leq 4$ 的二部 $(3,D,-\epsilon)$-图的完整目录；所有 ${\Delta} \geq 2$、$5 \leq D \leq 187$（$D \neq 6$）且 $0 \leq \epsilon \leq 4$ 的二部 $({\Delta},D,-\epsilon)$-图的完整目录；以及所有 ${\Delta} \geq 3$ 且奇数 $D \geq 7$ 的二部 $({\Delta},D,-4)$-图不存在性的证明。最后，我们猜想对于 ${\Delta} \geq 3$ 且 $D \geq 5$，不存在亏格为 4 的二部图，并评论了我们的结果对 $Nb({\Delta},D)$ 上界的一些影响。