直径为3且最大度数固定的最大平面图 -- 关于分数匹配的联系

度数-直径问题旨求在最大度数为 $\Delta$ 且直径为 $D$ 的图中，顶点数的最大可能值。在本文中，我们关注直径为3的平面图。Fellows、Hell 和 Seyffarth（1995）证明对于所有 $\Delta\geq 8$，平面图的最大顶点数 $\mathrm{np}_{\Delta, D}$（即最大度数至多为 $\Delta$，直径至多为 3 的平面图的顶点数）满足 $\frac{9}{2}\Delta - 3 \leq \mathrm{np}_{\Delta,3} \leq 8 \Delta + 12$。我们证明他们给出的下界在加法常数上是最优的，通过证明存在 $c>0$ 使得 $\mathrm{np}_{\Delta,3} \leq \frac{9}{2}\Delta + c$ 对每个 $\Delta\geq 0$ 都成立。我们的证明包含对特定平面图类上的分数最大匹配问题的归约，并证明其最优解为 $\tfrac{9}{2}$，并刻画了所有达到该下界的图。