给定直径和连通性约束下的二分图大小研究

本文第一部分确定了给定秩序、直径 $d$ 和连通性 $\kappa$ 的(有限、简单、连通)二分图的最大尺寸。Ali、Mazorodze、Mukwembi 和 Vetr\'ik [关于图的大小、秩序、直径和边连通性. Acta Math. Hungar. {\bf 152}, (2017)] 已证明对于秩序为 $n$、直径为 $d$、边连通性为 $\lambda$ 的连通无三角形图，大小上界约为 $\frac{1}{4}\left(n-\frac{(\lambda +c) d}{2}\right)^2+O(n)$，其中 $c\in\{0, \frac{1}{3}, 1\}$ 对于不同的 $\lambda$ 而言。在本文的第二部分，我们证明了 Ali 等人关于无三角形图大小的该界可以显著改进为更大范围的无三角形图族，即秩序为 $n$、直径为 $d$、边连通性为 $\lambda$ 的二分图。我们仅对 $\lambda = 2, 3, 4$ 证明此结果，因为可以从 Ali 等人这篇论文观察到对于 $\lambda\geq 5$，存在给定秩序和直径的 $\ell$-edge-connected 二分图，其大小仅与给定最小度 $\ell$ 的最大尺寸相差一个常数。此外，与 Ali 等人关于无三角形图大小的证明方法不同，本文的证明采用完全不同的方法，这使我们能够识别极端图；因此，本文提出的界是尖锐的。