偶数围长反足笼的不存在性

摩尔界 $M(k,g)$ 是围长 $g$ 的 $k$-正则图（记为 $(k,g)$-图）阶数的下界。阶数为 $n$ 的 $(k,g)$-图的超出量 $e$ 是差值 $n-M(k,g)$。$(k,g)$-笼是所有 $(k,g)$-图中顶点数最少的 $(k,g)$-图。若对于任意满足 $d(u,v)=d$ 且 $d(u, w)=d$ 的顶点 $u, v, w$，均有 $d(v, w)=d$ 或 $v=w$，则称直径为 $d$ 的图为反足的。在文献[4]中，Biggs 和 Ito 证明了任何偶数围长 $g=2d\geq6$ 且超出量 $e\leq k-2$ 的 $(k,g)$-笼都是直径为 $d+1$ 的二部图。本文我们处理偶数围长且超出量 $e\leq k-2$ 的 $(k,g)$-笼。基于谱分析，我们给出了此类笼的邻接矩阵 $A$ 与距离矩阵 $A_{d+1}$ 的特征值之间的关系。此外，遵循文献[4]和[13]中使用的方法，我们证明了超出量 $e$ 的反足 $(k,g)$-笼的不存在性，其中 $k\geq e+2\geq4$ 且 $g=2d\geq14$。