Girth-Diameter Cages的阶-直径比研究

对于整数$k,g,d$，$(k;g,d)$-cage（或简称为girth-diameter cage）指具有girth $g$和直径$d$的最小$k$正则图（若存在）。$(k;g,d)$-cage的阶记为$n(k;g,d)$。我们确定了当直径趋于无穷时，girth-diameter cage阶与直径之比的渐近下界和上界。我们还证明了对于固定$k$和$g$，该比值可在常数时间内计算。我们理论上确定了确切值$n(3;g,d)$，并计数了对应girth-diameter cages的个数，其中$g \in \{4,5\}$。此外，我们设计并实现了一种穷举图生成算法，并用其确定数个开放案例的确切阶数，获取相应girth-diameter cages的——常为完整的——集合。我们生成并解决的最大案例是阶为136的$(3;7,35)$-cage。