关于图 $D(5, q)$ 的特征值

设 $q = p^e$,其中 $p$ 为素数,$e$ 为正整数。图族 $D(k, q)$ 由 Lazebnik 与 Ustimenko 于 1995 年针对任意正整数 $k$ 与素数幂 $q$ 引入。迄今为止,图 $D(k, q)$ 的连通分支为给定阶数与给定围长的图的大小提供了已知最佳的一般下界。此外,Ustimenko 猜想 $D(k, q)$ 的第二大特征值始终小于或等于 $2\sqrt{q}$。若成立,则意味着对固定的 $q$ 且 $k$ 增长时,$D(k, q)$ 将定义一族近乎 Ramanujan 的扩张图。本文证明了该猜想最小的开情形,表明对所有奇素数幂 $q$,$D(5, q)$ 的第二大特征值小于或等于 $2\sqrt{q}$。