Prytz 测面仪几何
微分几何
2010-01-13 v1 数学物理
math.MP
摘要
Prytz 测面仪是一个受非完整约束支配的系统的简单例子。它在各类测面仪中独树一帜，因为它度量的是比面积更微妙的量，将所测区域的面积、质心及其他矩以依赖于测面仪长度的权重结合在一起。作为度量面积的工具，它对相对于其长度为小的区域最为精确。测面仪的构型空间是一个被 SU(1,1)（同构于 SL(2,R)）作用的非主圆丛。测面仪的运动实现为该丛上及一个主 SU(1,1)-丛上联络的平行平移。完整群为 SU(1,1)。由此，测面仪是一个在圆上有相移而非简单旋转系统的例子。在追踪大区域与小区域时，其完整性有质的差异。SU(1,1) 的泛型元素在 S^1 上以两个不动点或无不动点作用。当追踪小区域时，完整性无不动点地作用。Menzin 猜想（大致）陈述：若长度为 L 的测面仪追踪面积 A > pi L^2 的区域边界，则它展现渐近行为且完整性以两个不动点作用，一吸引一排斥。若区域为圆盘则这显然，若区域凸且 A >> pi L^2 则直观可信。我们在特例下给出该猜想的证明，并表明该猜想蕴含等周不等式。
引用
@article{arxiv.math/9808070,
title = {Geometry of the Prytz Planimeter},
author = {Robert L. Foote},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9808070},
year = {2010}
}
备注
AmS-TeX, 23 pages, 12 figures in 2 *.gif files. To appear in Reports on Mathematical Physics. Part of proceedings of Workshop on Non-holonomic Constraints in Dynamics, Univ. of Calgary, Aug. 1997