透镜空间中的几何不可压缩非可定向闭曲面

我们考虑在 (p,q)-透镜空间 L(p,q) ≅ V_1 ∪_∂ V_2 中具有最小交叉帽数的非可定向闭曲面，其中 V_1 和 V_2 是实心环。Bredon 和 Wood 给出了计算最小交叉帽数的公式。Rubinstein 表明，p 为偶数的 L(p,q) 只有这样一个曲面的一个同位类，并且它由一个标准形式的曲面表示，该曲面由 V_1 中的一个子午圆盘通过在 V_1 中进行有限次带和运算，并将所得边界圆用 V_2 的一个子午圆盘封盖而构造。我们证明标准形式对应于双曲上半平面闭包中某个树图上的边路径 λ。设 0=p_0/q_0, p_1/q_1, ..., p_k/q_k = p/q 为 λ 经过的顶点的标号。则第 i 次带和之后曲面边界圆的斜率为 (p_i, q_i)。λ 的边数等于最小交叉帽数。我们给出了一种利用 p/q 的特定连分数展开计算 p_i/q_i 的简便方法。