近脐超曲面的 $W^{2, \, p}$ 估计

设 $n \ge 2$，$p \in (1, \, +\infty)$ 给定，$\Sigma$ 为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的 $n$ 维闭超曲面。记 $A$ 为其第二基本形式，$\mathring{A}$ 为张量 $A - \frac{1}{n} A^i_i g$，其中 $g = \delta |_{\Sigma}$。假设 $\Sigma$ 是一个凸开集的边界，我们证明若 $\mathring{A}$ 的 $L^p$-范数很小，则 $\Sigma$ 必在 $W^{2, \, p}$ 意义下接近于一个球面，并带有定量估计。