哈密顿系统局域动力学的几何性质：广义对齐指数（GALI）方法

我们通过研究由单位偏差矢量关于轨道构成的体积元的演化，来研究多维哈密顿系统的详细动力学。这些体积的行为受到运动规则性或混沌性的强烈影响，同时也受到偏差矢量数目、其线性（不）相关性以及 Lyapunov 指数谱的影响。这些体积的不同时间演化可用于快速有效地识别动力学性质，从而引入能够清晰区分混沌行为与 $N$ 维环面上准周期运动的量。更具体地，我们引入 $k$ 阶广义对齐指数（GALI$_k$），定义为广义平行多面体的体积，其棱边为 $k$ 个初始线性无关的单位偏差矢量，这些矢量来自所研究轨道，且其大小在每个时间步长归一化为 1。GALI$_k$ 是较小对齐指数（SALI）（GALI$_2$ $\propto$ SALI）的推广。然而，GALI$_k$ 提供了关于局域动力学的更为详细的信息，能够比 SALI 更快更清晰地分辨有序与混沌，甚至在 SALI 方法无法得出结论的情形下仍然有效。