几何微扰理论与声学边界条件动力学

几何微扰理论具有普适性。一个典型例子是广泛应用于声学的三维波动方程。我们面对作为双耳听觉输入的振动鼓膜,其源于外部声源。在内部耦合耳(ICE)的构造中——超过一半的陆生脊椎动物具有此构造——两个鼓膜由一个内部充气的腔体耦合,该腔体的几何形状决定了 ICE 系统的声学特性。鼓膜本身由二维阻尼波动方程描述,并且是属于内部腔体中波动方程的三维拉普拉斯算子的空间边界条件的一部分,该腔体耦合并在内部驱动鼓膜。在具有 ICE 的动物中,所得信号是到达两个鼓膜的外部声音与耦合它们的内部压力之叠加。这也是几何微扰理论的典型设置。在 ICE 背景下,这归结为鼓膜与内部腔体这一耦合动力系统的声学边界条件动力学(ABCD)。在声学中,偏离平衡态的位移极小(纳米级)。因此微扰理论是自然的且被证明是恰当的。在此过程中,我们在 Duhamel 原理背景下使用了类似于 Dirac 的含时微扰理论。作为神经元信息处理来源的鼓膜-膜系统的弛豫动力学在一阶近似下被显式求出。此外,初始态与准稳态渐近态均被推导与分析。最后,我们建立了几何微扰理论的一般框架:其中 d 维域边界的子集——(d-1)维流形——由其自身动力学驱动,以域压力 $p$ 和外部源项为输入,同时构成 $p$ 的含时边界条件。