小斜率 Brill-Noether loci 的地理学

设 $X$ 为特征为零的代数闭域上 genus $g\ge2$ 的非奇异射影曲线。设 $\mathcal{M}$ 为 $X$ 上秩为 $n$、次数为 $d$ 的稳定束的模空间，$\mathcal{W}^k$ 为 $\mathcal{M}$ 中的 Brill-Noether loci。我们证明，当 $0\leq d \leq n$ 且 $\mathcal{W}^k$ 非空时，$\mathcal{W}^k$ 为预期维数的不可约代数簇，且在 $\mathcal{W}^k$ 之外光滑。我们进一步证明，在此范围内，$\mathcal{W}^k$ 非空当且仅当 $d>0$、$n\leq d+(n-k)g$ 且 $(n,d,k) \not= (n,n,n)$。我们还证明了半稳定 Brill-Noether loci 的不可约性和非空性。