高秩 Brill--Noether 轨迹的 Martens 定理与 Mumford 定理

推广了关于曲线上线丛的 Martens 定理，我们得到了 Brill--Noether 轨迹 $B^k_{n, d}$ 维数的上界，该轨迹参数化了 $C$ 上秩为 $n \ge 2$、次数为 $d$ 且具有至少 $k$ 个独立截面的稳定丛。这证明了第二作者的一个猜想，并推广了他在秩为 2 情形下得到的界。对于 $d$ 的某些值，我们给出了更精细的结果，包括当 $d \le g - 1$ 时关于 $n \ge 2$ 的广义 Mumford 定理。这些结论主要是通过分析 $B^k_{n, d}$ 的切空间得到的。作为应用，我们证明了对于 $n \ge 5$，轨迹 $B^2_{n, n(g-1)}$ 对于任意 $C$ 都是不可约且既约的。