P^2 上的高秩 Brill-Noether 理论

设 $M_{\mathbb{P}^2}(v)$ 为 $\mathbb{P}^2$ 上半稳定层的模空间,并设 $B^k(v) \subseteq M_{\mathbb{P}^2}(v)$ 为具有 $h^0(\mathbb{P}^2, E) \geq k$ 的层 $E$ 的\textit{Brill-Noether 轨迹}。本文发展 $\mathbb{P}^2$ 上 Brill-Noether 轨迹的基础性质。令 $r = r(E)$ 为秩,$c_1, c_2$ 为陈类。Brill-Noether 轨迹具有自然的行列式概型结构,且期望维数为 $dim B^k(v) = dim M_{\mathbb{P}^2}(v) - k(k - \chi(E))$。当 $c_1 > 0$ 时,我们证明 Brill-Noether 轨迹 $B^r(v)$ 非空。当 $c_1 = 1$ 时,我们证明所有 Brill-Noether 轨迹均不可约且具期望维数。我们证明当 $\mu = c_1/r > 1/2$ 非整数且 $c_2 \gg 0$ 时,Brill-Noether 轨迹可约,并描述了具期望与非期望维数的不同不可约分支。