交叉相互独立时的几何色数

几何图 $\overline{G}$ 是画在平面上的图，其边为直线且顶点处于一般位置。两个几何图 $\overline{G}$、$\overline{H}$ 之间的几何同态是一个保持顶点邻接性与边交叉的顶点映射 $f:\overline{G}\to\overline{H}$。$\overline{G}$ 的几何色数，记为 $X(\overline{G})$，是使得存在从 $\overline{G}$ 到 $K_n$ 的某个几何实现的几何同态的最小整数 $n$。回顾抽象图 $G$ 的色数，记为 $\chi(G)$，是使得存在从 $G$ 到 $K_n$ 的图同态的最小整数 $n$。显然有 $\chi(G)\leq X(\overline{G})$。本文建立了关于 $X(\overline{G})$ 的用 $\chi(G)$ 表示的一些上界。例如，如果所有交叉彼此距离至少为 1，则 $X(\overline{G})\leq 3\chi(G)$。然而，存在更精确的结果。如果所有交叉距离至少为 2，则 $X(\overline{G})\leq \chi(G)+2$。如果所有交叉距离至少为 1，且存在图同态 $f: G \to K_n$ 不将 $\overline{G}$ 中交叉的任何一对边映射到 $K_n$ 中的同一条边，则 $X(\overline{G})\leq 2n$。最后，如果 $\chi(G)\in \{2,3\}$ 且所有交叉距离至少为 1，则 $X(\overline{G})\leq 2\chi(G)$。